Šis algoritmas gali pasakyti, kurios skaičių sekos žmogui bus įdomios

Viena iš įdomiausių matematikos savybių yra jos grožis. Tačiau sunku suprasti, ką matematikai reiškia grožiu.

Bene garsiausias pavyzdys yra Eulerio santykis, pvz i π + 1 = 0, o tai atskleidžia gilų ryšį tarp iš pažiūros nesusijusių matematikos sričių. Pavyzdžiui, |_+_| kilęs iš geometrijos, Ir ir i kilę iš algebros, o primityvai 0 ir 1 kartu su operacijomis + ir = kilę iš skaičių teorijos. Tai, kad jie taip paprastai ir netikėtai susiję, yra vienas didžiausių matematinio pasaulio stebuklų.

Ir tai rodo kitą matematinio grožio komponentą: matematiniai modeliai turi būti kažkaip įdomūs. Atpažinti šiuos įdomius modelius visada buvo unikalus žmogaus sugebėjimas.

Tačiau pastaraisiais metais mašinos tapo itin galingais modelio atpažinimo įrankiais. Iš tiesų, jie pradėjo pranokti žmones veido atpažinimo, objektų atpažinimo ir įvairių žaidimų vaidmenų srityse.

Ir tai iškelia įdomią galimybę: ar mašininio mokymosi algoritmai gali nustatyti įdomius ar elegantiškus matematikos modelius? Ar jie netgi galėtų būti matematinio grožio arbitrai?

Šiandien mes gauname atsakymą dėl Chai Wah Wu darbo IBM TJ Watson tyrimų centre Niujorko valstijoje. Wu sukūrė mašininio mokymosi algoritmą, kuris išmoko atpažinti tam tikrus matematinių struktūrų elegancijos tipus ir panaudojo jį įdomioms sekoms filtruoti iš visiškai atsitiktinių.

Ši technika naudoja neįprastą duomenų bazę, vadinamą Internetinė sveikųjų skaičių sekų enciklopedija septintajame dešimtmetyje sukurtas matematiko Neilo Sloane'o ir 1996 m. paskelbtas internete.

Sveikoji seka yra skaičių, išdėstytų pagal taisyklę, serija. Įžymūs pavyzdžiai yra pirminiai skaičiai – skaičiai, kuriuos galima padalyti tik iš savęs ir 1 ( A000040 ); Fibonačio seka, kurioje kiekvienas narys yra dviejų ankstesnių terminų suma ( A000045 ); ir net nereikšmingų pavyzdžių, tokių kaip nelyginių skaičių seka arba pirminiai skaičiai, prasidedantys 7.

Iš tiesų, matematikai, valdantys OEIS, plačiai pasinėrė į tinklą ieškodami įdomių sekų, todėl įtraukė daugybę pavyzdžių, turinčių grynai kultūrinę reikšmę. Tai apima pirminius skaičius, kuriuose yra seka 666, vadinamasis žvėries skaičius.

Duomenų bazėje netgi yra pirminių skaičių seka, kurioje yra skaičius 667 ( A138563 ). Šis skaičius buvo laikomas reikšmingu, nes kai fakso aparatai buvo įprasti, žmonės dažnai turėjo fakso numerį, kuris buvo jų telefono numeris ir 1. Kitaip tariant, jei jų telefono numeris būtų 123-4567, jų fakso numeris būtų 123-4568. Pagal tokį mąstymą 667 yra žvėries fakso numeris, taigi ir kultūrinės reikšmės (redaktoriai juk žmonės).

Šiandien „Integer Sequence“ duomenų bazėje yra apie 300 000 sekų, kurias kiekvieną dieną pateikia mėgėjai ir profesionalai, daugelis iš jų užsimena apie naujas ir įdomias matematikos problemas.

Wu užduotis buvo rasti būdą, kaip atskirti šias įdomias sekas nuo atsitiktinai sugeneruotų. Ir jo idėja buvo rasti empirinius dėsnius, kurie galėtų veikti kaip įdomumo matai, kurie galėtų juos atskirti nuo neįdomių.

Empiriniai dėsniai nėra matematinės teoremos per se bet yra empiriniai santykių stebėjimai, kurie, atrodo, taikomi daugeliui natūralių ir žmogaus sukurtų duomenų rinkinių, sako Wu. Pavyzdžiui, Moore'o įstatymas elektros inžinerijoje ir 80/20 Pareto principas ekonomikoje. Tik kodėl šie įstatymai galioja, nėra iki galo suprantama, bet vis tiek jie galioja.

Vienas empirinis principas, taikomas daugeliui duomenų rinkinių, yra Benfordo dėsnis. Tai 1881 m. atrado Kanados matematikas ir astronomas Simonas Newcombas. Newcomb pažymėjo, kad ankstesni logaritmų lentelių knygų puslapiai buvo sunkesni nei vėlesni puslapiai, o tai rodo, kad logaritmai, prasidedantys skaitmeniu 1, buvo dažnesni.

Tai paskatino jį suformuluoti principą, kad bet kuriame duomenų rinkinyje daugiau skaičių prasidėtų 1 nei bet kuris kitas skaičius. Tą pačią idėją 1930-aisiais iš naujo atrado ir išpopuliarino Frankas Benfordas.

Benfordo dėsnis taikomas įvairiems duomenų rinkiniams, pvz., elektros sąskaitoms, gatvių adresams, akcijų kainoms ir pan. Tai taip nuspėjama, kad jį galima panaudoti apgaulei finansinėse sąskaitose nustatyti. Bet tai netaikoma atsitiktinėms sekoms. Tiksliai kodėl nėra aiškiai suprantama.

Iš tiesų, matematikai atrado galvosūkį, kad Benfordo dėsnis taikomas kai kurioms sveikųjų skaičių sekoms. Tačiau kaip plačiai tai taikoma šiose sekose?

Siekdamas išsiaiškinti, Wu išmatavo, kaip gerai įstatymas numato pirmųjų skaitmenų pasiskirstymą 40 000 sekų, atsitiktinai parinktų iš OEIS duomenų bazės.

Pasirodo, Benfordo įstatymas pasirodo daug dažniau, nei tikėtasi. Rezultatai rodo, kad daugelis, bet ne visos, sekų tam tikru mastu atitinka Benfordo dėsnį, sako Wu, kuris nustatė, kad taip pat plačiai paplitęs kitas empirinis principas, vadinamas Teiloro įstatymu.

Kitas klausimas buvo paprastas žingsnis toliau: ar būtų galima naudoti Benfordo dėsnį ir Teiloro dėsnį, kad būtų galima atskirti atsitiktines sekas nuo OEIS?

Norėdami tai išsiaiškinti, Wu sukūrė 40 000 atsitiktinių sveikųjų skaičių sekų ir pridėjo jas prie 40 000 sekų, pasirinktų iš OEIS. Tada jis išmokė mašininio mokymosi algoritmą, kad nustatytų OEIS sekas, naudodamas Benfordo dėsnį ir Teiloro dėsnį, ir atskirtų jas nuo atsitiktinių sekų.

Rezultatai įspūdingi. Algoritmas veikė 0,999 tikslumu ir 0,9984 tikslumu. Tai svarbu, nes sukuria galimybę automatizuoti įdomių sekų aptikimo procesą.

Iš karto matosi viena paraiška. OEIS vadovaujantys matematikai šiuo metu turi apdoroti apie 10 000 pranešimų per metus. Taigi gali būti naudingas būdas automatiškai nustatyti įdomiausius.

Tačiau šis metodas turi keletą reikšmingų apribojimų. Matematikai apibrėžė daug įdomių ir svarbių sekų, kurios turi begalinį skaičių terminų, bet kurias sunku apskaičiuoti. Todėl duomenų bazėje yra tik keletas šių terminų. Akivaizdu, kad tai netinka tokiai mašinų analizei.

Platesnis klausimas yra, ar šis požiūris gali atpažinti matematikos eleganciją ar grožį. Kaip Wu klausia: Ar mašininis mokymasis gali nustatyti kokybinius mokslo žinių požymius; y., ar galime pasakyti, ar mokslinis rezultatas yra elegantiškas, paprastas ar įdomus?

Šis tikslas gali būti ne visai beprasmis. Jei empiriniai dėsniai, tokie kaip Benfordo ir Tayloro, yra įdomumo rodiklis, kaip rodo šis darbas, galbūt šį algoritmą bent tam tikru lygiu galima laikyti elegancijos arbitru.

Euleris, to paties pavadinimo ryšys ir vienas didžiausių matematikų istorijoje, tikrai būtų sužavėtas.

Nuoroda: https://arxiv.org/abs/1805.07431 Ar mašininis mokymasis gali atpažinti įdomią matematiką? Tyrinėjimas naudojant empiriškai stebimus įstatymus

paslėpti