Pirmasis periodinis vienos formos plytelių klojimas

Lėktuvo plytelių klijavimo problema statybininkus ir matematikus žavi nuo neatmenamų laikų. Iš pirmo žvilgsnio užduotis nesudėtinga: kvadratai, trikampiai, šešiakampiai sukuria gerai žinomas periodines struktūras. Taip pat daugybė netaisyklingų formų ir jų derinių.

Daug sudėtingesnis klausimas yra paklausti, kurios formos gali iškloti plokštumą nesikartojančiu raštu. 1962 m. matematikas Robertas Bergeris atrado pirmąjį plytelių rinkinį, kuris padarė viską. Šį rinkinį sudarė 20 426 formos: nėra lengvas rinkinys plytelėmis kloti vonios kambarį.

Gerbdamas namų tobulinimo priemones, Bergeris vėliau sumažino rinkinį iki 104 formų, o kiti vėliau dar labiau sumažino skaičių. Šiandien žinomiausios yra 1970-ųjų pradžioje atrastos Penrose aperiodinės plytelės, kurios gali uždengti plokštumą naudojant tik dvi formas: aitvarus ir smiginį.

Problema rasti vieną plytelę, kuri galėtų atlikti šį darbą, vadinama Einšteino problema; nieko bendro su didžiuoju žmogumi, bet iš vokiečių kalbos vienas– ein–ir tile–stein. Tačiau einšteino paieškos pasirodė bevaisės. Iki dabar.

Šiandien Joshua Socolar ir Joan Taylor iš Duke universiteto praneša, kad išsprendė Einšteino problemą ir atrado visiškai naują būdą, kaip spręsti šią problemą.

Jų atrasta plytelė iš esmės yra modifikuota šešiakampio forma. Tačiau norėdami pasiekti rezultatą, jie naudoja keletą gudrybių. Pirma, jie leidžia sau naudoti plyteles ir jos veidrodinį vaizdą, kad periodiškai išklotų plokštumą.

Akivaizdu, kad kai kurie plytelių klojėjai gali manyti, kad tai šiek tiek pažeidžia taisykles, todėl Socolar ir Taylor toliau rodo, kad veidrodinis vaizdas nėra būtinas, jei plytelei leidžiama 3D forma (žr. toliau).

Pasak jų, čia pateikta plytelė yra vienintelis žinomas periodinių plytelių pavyzdys.

Tai įspūdingas rezultatas. Po to, kai Penrose'as atskleidė savo aperiodines plyteles, fizikai nurodė, kad tam tikri kristalai turi panašius modelius. Bus įdomu pamatyti, ar gamta taip pat atrado Socolar ir Taylor sprendimą.

Žinoma, darbas palieka atvirą didelę problemą: ar įmanoma išklijuoti plokštumą su nesikartojančiu raštu naudojant vieną 2D plytelę?

Įsivaizduoju, kad Taylor ir Socolar šiuo metu mįslingi dėl vonios sienos.

Nuoroda: arxiv.org/abs/1003.4279 : periodinė šešiakampė plytelė

paslėpti