Naujas būdas supaprastinti kvadratines lygtis

Senovės babiloniečiai buvo nepaprasta grupė. Tarp daugybės nepaprastų laimėjimų jie rado dabar žinomą matematinį nemalonaus iššūkio sprendimą – mokėti mokesčius.

Ypatinga paprasto dirbančio babiloniečio problema buvo tokia: atsižvelgiant į mokesčių sąskaitą, kurią reikia sumokėti už pasėlius, kiek turėčiau padidinti savo lauką, kad jį sumokėtu?

Šį uždavinį galima užrašyti kaip kvadratinę lygtį, kurios forma Ax2+Bx+C=0. Ir tai išspręsta pagal šią formulę:

Šiandien, praėjus daugiau nei 4000 metų, milijonams žmonių mintyse įsirėžė kvadratinė formulė, nes matematikos mokoma visoje planetoje.

Tačiau daug mažiau žmonių gali išvesti šią išraišką. Taip yra ir dėl to, kaip mokoma matematikos – įprastas išvedimas remiasi matematiniu triuku, vadinamu kvadrato užbaigimu, kuris toli gražu nėra intuityvus. Iš tiesų, po babiloniečių, matematikams prireikė daug amžių, kad sukluptų su šiuo įrodymu.

Prieš ir po to matematikai rado daugybę kitų būdų formulei gauti. Tačiau visi jie taip pat yra sudėtingi ir neintuityvūs.

Taigi lengva įsivaizduoti, kad matematikai turėjo išnaudoti problemą. Tiesiog negali būti geresnio būdo gauti kvadratinę formulę.

Įveskite Po-Shen Loh, matematiką iš Carnegie Mellon universiteto Pitsburge, kuris rado paprastesnį būdą – tą, kuris, atrodo, buvo nepastebėtas per šiuos 4000 metų.

Loho metodas nesiremia kvadrato užbaigimu ar kitais sudėtingais matematiniais triukais. Iš tiesų, jis yra pakankamai paprastas, kad veiktų kaip pats bendrasis metodas, o tai reiškia, kad studentams visai nereikia prisiminti formulės. Jis sako, kad darinys gali demistifikuoti kvadratinę formulę studentams visame pasaulyje.

Naujas požiūris yra paprastas. Pirmiausia reikia pastebėti, kad jei kvadratinė lygtis gali būti faktorizuojama tokiu būdu:

Tada dešinioji pusė lygi 0, kai x=R arba kai x=S. Tada tai būtų kvadrato šaknys.

Padauginus iš dešinės pusės gaunama

Tai tiesa, kai -B=R+S ir kai C=RS.

Dabar čia ateina protingas dalykas. Lohas pažymi, kad skaičiai R ir S prideda iki -B, kai jų vidurkis yra -B/2.

Taigi mes ieškome dviejų -B/2±z formos skaičių, kur z yra vienas nežinomas dydis, sako jis. Tada galime padauginti šiuos skaičius, kad gautume C išraišką. Taigi

Tada duoda paprastas pertvarkymas

Tai reiškia, kad kvadratinės lygties sprendimas yra:

Voilà! Tai kvadratinė formulė.

[Bendresnę versiją galima gauti padalijus lygtį Ax2+Bx+C=0 iš A, kad gautųsi x2+B/Ax+C/A=0, o tada pakartojus aukščiau aprašytą procesą.]

Tai labai reikšmingas ankstesnio metodo patobulinimas, o Lohas paprastu pavyzdžiu parodo kodėl.

Raskite šio kvadrato šaknis: x2 - 2x+4=0

Tradicinis metodas būtų nustatyti A, B ir C reikšmes ir prijungti jas į kvadratinę formulę. Tačiau Loho požiūris problemą išsprendžia intuityviai. Pirmas žingsnis yra galvoti, kad dvi lygties šaknys turi būti lygios -B/2±z = 1±z

Ir kadangi jų produktas turi būti C=4, galime parašyti:

Taigi šaknys yra

Bandyti tą pačią problemą naudojant tradicinį metodą yra daug sudėtingiau. Pirmyn, pabandyk! Naujasis metodas yra daug paprastesnis ir intuityvesnis, ypač dėl to, kad formulės visai nereikia įsiminti.

Įdomus klausimas, kodėl niekas anksčiau nesusidūrė su šiuo metodu ir jo plačiai nepaskelbė.

Lohas sako, kad jis „iš tikrųjų būtų labai nustebęs, jei šis požiūris visiškai išvengtų žmogaus atradimų iki šių dienų, atsižvelgiant į 4000 metų istoriją šia tema ir milijardus žmonių, kurie susidūrė su formule ir jos įrodymais. Tačiau ši technika tikrai nėra plačiai mokoma ar žinoma.

Lohas matematikos istorijoje ieškojo metodo, panašaus į jį, bet nesėkmingai. Jis nagrinėjo senovės babiloniečių, kinų, graikų, indų ir arabų, taip pat šiuolaikinių matematikų sukurtus metodus nuo Renesanso iki šių dienų. Atrodo, kad nė vienas iš jų nepadarė šio žingsnio, nors algebra yra paprasta ir žinoma šimtmečius.

Tai kodėl dabar? Lohas mano, kad tai susiję su tuo, kaip įprastas požiūris įrodo, kad kvadratinės lygtys turi dvi šaknis. Galbūt priežastis yra ta, kad iš tikrųjų matematiškai nereikšminga daryti atvirkštinę implikaciją: tai visada turi dvi šaknis ir kad šios šaknys turi sumą −B ir sandaugą C, sako jis.

Lohas, kuris yra matematikos pedagogas ir kai kurių krypčių populiarintojas, savo požiūrį atrado analizuodamas matematikos programas moksleiviams, siekdamas sukurti naujus paaiškinimus. Iš šio proceso atsirado darinys.

Dabar kyla klausimas, kaip plačiai ir kaip greitai jis išplis. Norėdami pagreitinti priėmimą, Lohas sukūrė vaizdo įrašą apie šį metodą . Bet kuriuo atveju Babilono mokesčių skaičiuotuvai tikrai būtų sužavėti.

Nuoroda: arxiv.org/abs/1910.06709 : paprastas kvadratinės formulės įrodymas

Pataisymas: pakoregavome sakinį, sakydami, kad šiuo metodu niekada nebuvo plačiai dalijamasi, ir įtraukėme Loh citatą.

paslėpti